Rijen en reeksen

De student kan de volgende stellingen formuleren, bewijzen, begrijpen en toepassen:

Les 1.

(a)  Rijen a_n in een verzameling V (definitie, voorbeelden)

(b) (Strikt) monotoon stijgende\dalende rijen in R (definitie)

(c)  Deelrijen in V (definitie, voorbeelden)

(d) Convergente rijen in R (definitie, voorbeelden)

(e)  De limiet a van a_n is uniek in R; een convergente rij in R is begrensd (met bewijs)

(f)   Elke deelrij van een convergente rij in R is convergent met dezelfde limiet (met bewijs)

(g) Een naar boven begrensde, monotoon stijgende rij in R is convergent (met bewijs)

            Les 2.

(a)  Rekenregels voor limieten in R(met bewijs)

(b) Insluitstelling (met bewijs)

(c)  Interessante rijen en limieten

(d) Elke rij in R heeft een monotone deelrij (met bewijs)

(e)  Weierstrass: Een begrensde rij in R heeft een convergente deelrij (met bewijs)

(f) De stelling van Erdos-Szekeres (met bewijs)

             Les 3.

(a)  Limsup, liminf (definitie, voorbeelden)

(b) Een begrensde rij in R is convergent als en slechts als liminf=limsup (met bewijs)

(c)  Oneigenlijke limieten van rijen in R (definitie, voorbeeld)

             Les 4.

(a) Rekenregels voor oneigenlijke limieten van rijen in R (met bewijs)

(b) Cauchy-rijen in R (definitie, voorbeelden)

(c)  Een rij a_n in R is convergent als en slechts als a_n een Cauchy-rij is (met bewijs)

(d) Convergente\Cauchy rijen in C (definitie, voorbeelden)

               Les 5.

(a) Rekenregels voor limieten in C (met bewijs)

(b) Convergente rijen in metrische ruimten (enkel definitie, zie Analyse 1)

(c)  Convergente\Cauchy reeksen in R en C (definities)

(d)  De harmonische reeks is divergent (met bewijs)

(e)  Als een reeks convergent is (in R of C), dan heeft de algemene term a_n als limiet 0 (met bewijs)

(f)   De meetkundige reeks met rede z\in C is convergent voor |z|<1 en divergent voor |z|>=1 (met bewijs)

               Les 6.

(a)  Rekenregels voor reeksen in R of C (met bewijs)

(b)  De staartstukken van een convergente reeks in R of C streven naar 0 (met bewijs)

(c)  Plaatsen van haakjes in R of C(met bewijs)+voorbeelden

(d)  Absoluut convergente reeksen in R of C (definitie)

(e)  Een reeks is absoluut convergent in R of C->deze reeks is convergent (met bewijs)

(f)   Omschikking der termen in R of C, en absolute convergentie (met bewijs)

              Les 7.

(a)  Cauchyproduct  van absoluut convergente reeksen in R of C (met bewijs)

(b) Convergentiekenmerken: majorantietest (met bewijs), limiettest (met bewijs), wortelkenmerk van Cauchy (met bewijs), kenmerk van dAlembert (met bewijs)

             Les 8.

(a)  Kenmerk van Leibniz (met bewijs), integraalkenmerk (met bewijs)+voorbeelden

(b)  Functierijen in R of C en uniforme convergentie (definitie)

(c)  De uniforme limiet van continue functies is continu (met bewijs)

(d) Omwisselen van limiet en integraal (met bewijs), omwisselen van limiet en afgeleide (zonder bewijs)

                Les 9.

(a)  Functiereeksen in R of C en uniforme convergentie (definities)

(b) Majorantie-kenmerk van Weierstrass voor uniforme convergentie (met bewijs)

(c)  Omwisselen van reeks en integraal (met bewijs), omwisselen van reeks en afgeleide (met bewijs)

(d)  Machtreeksen in R of C, convergentiestraal r, convergentieschijf, convergentiecirkel (definities)

(e)  Een machtreeks is absoluut convergent voor |z|<r, divergent voor |z|>r  en uniform convergent over de gesloten bol met straal 0<p<r(met bewijs)

               Les 10.

(a)  Termsgewijze differentiatie van een machtreeks (met bewijs)

(b) Taylorreeksen in R (definitie, vorbeelden: f(x)=exp(x), sin(x), cos(x), ln(1+x), binomiaalreeks,)